小C的第一宇宙
wangc
Oct 10, 2017
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基本目标有两个:

  1. 读懂证明。可以独立的阅读学习几乎数学所有的学科。
  2. 对已知的数学事实给出你自己的证明

    最终的目标是用你学到的方法和语言去发现和表述未知的数学真理。

1. 关于证明

数学最重要的问题是指明: 如果命题A是真的那么命题B也是真的。\ 即:

 A -> B
  • 证明是完成这个任务的正规方法。
  • 证明最重要的目的:A推出B。所以一个命题首先需要做的是区分前提A和结论B,记住A是已知的命题,B是需要证明的命题
    1. 证明包含的数学事实应该详细到使是阅读证明的人所信服。
    2. 证明“A推出B”并不是要证明A、B皆真,而是要说明,在承认A是真的前提下B是A的逻辑结论。归根结底是找到A和B之间的联系。

2. 顺推-倒退法

证明中最基本的方法 基本思想 使用顺推-倒推法时。可以假定A是真的,目的是证明B是真的,通过顺推过程,从A推出的命题序列A1,A2,…。使A为真,A1,A2,…也为真。这个序列的推导是在倒推过程的引导下做出的,通过提出和回答抽象问题,从B引出新命题B1,B2,,,目的是通过顺推过程产生的一个命题序列恰好与倒推得到的最后一个命题相同。

基本步骤

步骤 实例 解释
如果A,那么B 如果直角三角形XYZ的直角边长为x,y,斜边长z,面积为z^2/4,那么三角形XYZ是等腰三角形。 找出前提A和结论B (此后新的抽象命题都要先找出A,和B,A、B的划分是下面所有方法的基础)
倒推:通过提出抽象问题的抽象过程引出B2<=>B 怎样才能断定一个三角形是等腰的,应该证明两条边相等,即证明两个实数相等,结合题,即证明x=y 提出抽象问题(怎么样证明B是对的),抽象的回答,然后将这个抽象回答用到所考虑的题目上的整个过程叫做抽象过程。得到B1往往需要重复抽象(B2)。
倒推:将抽象过程用于B1,得到B2<=>B1 怎样才能证明两个实数相等(x=y),需要证明x-y=0  
… … … … 要记住的是,整个过程都是在假设A是真的这个实数的引导下进行的。按照这种方式继续下去,直到得到了命题A,或者不能提出满意的抽象问题,然后开始顺推过程
顺推:由命题A推出一系列命题 假设连同勾股定理并经一些恒等变形给出(x-y)^2,由此便的三角形等腰的结论  

注意

  1. 对于许多证明的关键在于表述一个正确的抽象问题。继续新的抽象问题是一个困难,抽象过程中抽象问题可能多余一个又是一个困难,第三个困难是即使选出的是正确的抽象问题,答案也可能不止一个,更可能有的无法证明。怎样选出一个好的抽象问题往往靠的是技巧而不是靠知识,在侥幸的情况下只有一个抽象问题,而在其他情况下,就使用实验法,这时候知觉、见识、创造力以及画图和列表都能起到重要作用,更一般的应该让A中的信息(以假设A是真的)帮助你进行选择。
  2. 正确的提出抽象问题应该不出现所考虑题目中所使用的符号与记号。这样可以让你排除无关紧要的细节,想到一般性的知识。

3. 定义和数学术语

定义是某个事物的约定,保证概念对每一个人的同一性。\ 在做顺推和回答问题时,使用定义是最常用的方法,掌握与定义等价的命题最多,在顺推过程中选择的命题就会越多。当然,等价命题太多也会给确切选择一个问题带来困难。

术语

  1. 论断:你试图证明的真命题。
  2. 定理:(主观的)认为非常重要的论断。
  3. 引理:引理是用来证明定理而预先提出的论断。
  4. 推理:由定理可以直接推出的论断。
  5. 公理:不用证明(直觉上不言而喻的)而提出的论断。
  6. 约定:

其他更多的基本术语参看命离散数学。

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